석궁판사가 잡아낸 출제오류
어지간하면 컴퓨터 안하려 했더니만;; 하긴,, 설때 컴퓨터 해버렸으니 한달동안 컴퓨터 안하기는 이미 물 넘어갔어...
어쨌건, ㅅㅅㅎ한테 진득하게 욕 퍼부었는데,
ㅅㅅㅎ가 아무리 비정상이긴 해도 내 태도에도 문제가 없지는 않아서 좀 미안하긴 하더라.
그래서 ㅅㅅㅎ방식에 맞게 문제를 풀어봤음.
내가 옛적이나 지금이나 수학은 젬병인 공대생(ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ)인지라 틀린 부분이 있을수도 있음.
영벡터가 아닌 세 공간벡터 a,b,c가(이후 벡터는 이탤릭으로 표시) 모든 실수 x,y,z에 대하여
| xa + yb + zc | ≥ |xa | + |yb |
를 만족할 때, a⊥b , b⊥c , c⊥a 임을 증명하라.
풀이 : 제곱한 후 대충 정리한 뒤, 가정에 해당하는 경우를 찾아본 뒤, 그게 직교인지 확인
|xa + yb + zc| ≥ |xa| + |yb|
제곱
|xa + yb + zc|² ≥ (|xa| + |yb|)²
|xa |² + |yb |² + |zc|² + 2xya · b + 2yzb · c + 2zxc · a ≥ |xa |² + |yb |² + 2|xy||a ||b |
정리
|zc|² + 2xya · b + 2yzb · c + 2zxc · a ≥ 2|xy||a ||b |
|zc|² + 2xya · b + 2yzb · c + 2zxc · a - 2|xy||a ||b | ≥ 0
x,y>0일때 xy>0일때(수정사유 : ㅅㅅㅎ 지랄)
2xy(a · b - |a ||b |) + zc · (zc +2yb + 2xa ) ≥ 0
x,y<0일때 xy<0일때
2xy(a · b + |a ||b |) + zc · (zc +2yb + 2xa ) ≥ 0
상황이 어떠하건 모든 실수 x, y, z에서 위 식이 항상 성립하려면
(a · b + |a ||b |)
c · (zc +2yb + 2xa )는 항상 0이여야 함.
따라서 c는 항상 영벡터이거나 (zc +2yb + 2xa )와 직교를 이루어야 하며(근데 이런 경우가 있나?)
a 혹은 b 는 항상 영벡터여야 한다.
그런데 세 공간벡터 a,b,c는 영벡터가 아님으로,
| xa + yb + zc | ≥ |xa | + |yb |를 만족시키는 영벡터가 아닌 세 공간벡터 a,b,c는 존재하지 않는다.
어라? 가정에 해당하는 경우가 없다?
풀이 : 제곱한 후 대충 정리한 뒤, 가정에 해당하는 경우를 찾아본 뒤, 그게 직교인지 확인
풀이 : 가정에 해당하는 경우가 없음으로(가정에 해당하는 경우의 집합이 공집합) 결론에 해당하는 집합은 항상 가정에 해당하는 집합을 포함한다는 결론 도출(모든 집합은 공집합을 포함한다).
따라서 본 문제의 가정 (모든 실수 x,y,z에 대하여 |xa + yb + zc | ≥ |xa | + |yb |를 만족시키는 영벡터가 아닌 공간벡터 a,b,c)에 해당하는 집합이 공집합이므로, 가정 및 결론에 해당하는 진리집합을 P, Q라 하면 항상 P ⊂Q 이다.
--------------------------------------------------------------
ㅅㅅㅎ의 실수는 우변을 제곱하면서 절댓값을 씌우지 않는 실수를 한 것에 있지 않나 싶다.
그것만 했다면 이후의 정리는 쉽게 되었을 테니 말이다.
근데, 나도 결국 ㅅㅅㅎ 방식에 맞춰서 이렇게 풀기는 했지만(난 고등학교 다닐적부터 수학을 어지간히도 못해서 이렇게 푸는게 정말 익숙하지가 않다..ㅠㅠ), 이렇게 푸는 것이 뭔 의미가 있나 싶다.
어쨌건, 전제가 성립하지 않음을 증명하는것은 그리 어려운 부분은 아니고, 붉은색으로 표시한 '전제가 성립하는 경우가 존재하지 않을경우 명제는 항상 참이다'라는 부분은 중학교때 배우기는 한다. 근데 워낙 병신같은 거고, 전제하고 결론이 따로 노는 명제라서 문제로서는 적합하지 않아서 문제지.
어쨌건, ㅅㅅㅎ는 문턱까지 와서 벽으로 돌진하는 짓이나, 보다 직관적으로 설명하는 방법이 있음에도 굳이 이걸 전개해서 푸는 짓이나, 왕년 수학왕을 자처할 정도는 아닌거 같다.
예전에도 한번 이야기했지만 ㅅㅅㅎ가 욕먹는 것은 그 지식이 부족하거나 한 그런 시덥잖은 이유 때문이 아니라, 있지도 않은 권위를 세우려 하고 타인을 헐뜯기 좋아하며 친절을 갖고 접근하는 사람에게도 좋지 못한 태도로 대응하는 성품에 결함이 있기 때문이다. ㅅㅅㅎ는 자신이 생각하는 것 보다 뛰어나지 않고, 남들보다 잘 난것이 없음을 확실히 인지 할 필요가 있다.
누구보다도 낮은 자세로 타인에게 다가갈 때, 너를 대하는 사람들도 너보다 낮은 자세로 널 대할 것이다.
어지간하면 컴퓨터 안하려 했더니만;; 하긴,, 설때 컴퓨터 해버렸으니 한달동안 컴퓨터 안하기는 이미 물 넘어갔어...
어쨌건, ㅅㅅㅎ한테 진득하게 욕 퍼부었는데,
ㅅㅅㅎ가 아무리 비정상이긴 해도 내 태도에도 문제가 없지는 않아서 좀 미안하긴 하더라.
그래서 ㅅㅅㅎ방식에 맞게 문제를 풀어봤음.
내가 옛적이나 지금이나 수학은 젬병인 공대생(ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ)인지라 틀린 부분이 있을수도 있음.
영벡터가 아닌 세 공간벡터 a,b,c가(이후 벡터는 이탤릭으로 표시) 모든 실수 x,y,z에 대하여
| xa + yb + zc | ≥ |xa | + |yb |
를 만족할 때, a⊥b , b⊥c , c⊥a 임을 증명하라.
풀이 : 제곱한 후 대충 정리한 뒤, 가정에 해당하는 경우를 찾아본 뒤, 그게 직교인지 확인
|xa + yb + zc| ≥ |xa| + |yb|
제곱
|xa + yb + zc|² ≥ (|xa| + |yb|)²
|xa |² + |yb |² + |zc|² + 2xya · b + 2yzb · c + 2zxc · a ≥ |xa |² + |yb |² + 2|xy||a ||b |
정리
|zc|² + 2xya · b + 2yzb · c + 2zxc · a ≥ 2|xy||a ||b |
|zc|² + 2xya · b + 2yzb · c + 2zxc · a - 2|xy||a ||b | ≥ 0
2xy(a · b - |a ||b |) + zc · (zc +2yb + 2xa ) ≥ 0
2xy(a · b + |a ||b |) + zc · (zc +2yb + 2xa ) ≥ 0
상황이 어떠하건 모든 실수 x, y, z에서 위 식이 항상 성립하려면
(a · b + |a ||b |)
c · (zc +2yb + 2xa )는 항상 0이여야 함.
따라서 c는 항상 영벡터이거나 (zc +2yb + 2xa )와 직교를 이루어야 하며(근데 이런 경우가 있나?)
a 혹은 b 는 항상 영벡터여야 한다.
그런데 세 공간벡터 a,b,c는 영벡터가 아님으로,
| xa + yb + zc | ≥ |xa | + |yb |를 만족시키는 영벡터가 아닌 세 공간벡터 a,b,c는 존재하지 않는다.
어라? 가정에 해당하는 경우가 없다?
풀이 : 가정에 해당하는 경우가 없음으로(가정에 해당하는 경우의 집합이 공집합) 결론에 해당하는 집합은 항상 가정에 해당하는 집합을 포함한다는 결론 도출(모든 집합은 공집합을 포함한다).
따라서 본 문제의 가정 (모든 실수 x,y,z에 대하여 |xa + yb + zc | ≥ |xa | + |yb |를 만족시키는 영벡터가 아닌 공간벡터 a,b,c)에 해당하는 집합이 공집합이므로, 가정 및 결론에 해당하는 진리집합을 P, Q라 하면 항상 P ⊂Q 이다.
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ㅅㅅㅎ의 실수는 우변을 제곱하면서 절댓값을 씌우지 않는 실수를 한 것에 있지 않나 싶다.
그것만 했다면 이후의 정리는 쉽게 되었을 테니 말이다.
근데, 나도 결국 ㅅㅅㅎ 방식에 맞춰서 이렇게 풀기는 했지만(난 고등학교 다닐적부터 수학을 어지간히도 못해서 이렇게 푸는게 정말 익숙하지가 않다..ㅠㅠ), 이렇게 푸는 것이 뭔 의미가 있나 싶다.
어쨌건, 전제가 성립하지 않음을 증명하는것은 그리 어려운 부분은 아니고, 붉은색으로 표시한 '전제가 성립하는 경우가 존재하지 않을경우 명제는 항상 참이다'라는 부분은 중학교때 배우기는 한다. 근데 워낙 병신같은 거고, 전제하고 결론이 따로 노는 명제라서 문제로서는 적합하지 않아서 문제지.
어쨌건, ㅅㅅㅎ는 문턱까지 와서 벽으로 돌진하는 짓이나, 보다 직관적으로 설명하는 방법이 있음에도 굳이 이걸 전개해서 푸는 짓이나, 왕년 수학왕을 자처할 정도는 아닌거 같다.
예전에도 한번 이야기했지만 ㅅㅅㅎ가 욕먹는 것은 그 지식이 부족하거나 한 그런 시덥잖은 이유 때문이 아니라, 있지도 않은 권위를 세우려 하고 타인을 헐뜯기 좋아하며 친절을 갖고 접근하는 사람에게도 좋지 못한 태도로 대응하는 성품에 결함이 있기 때문이다. ㅅㅅㅎ는 자신이 생각하는 것 보다 뛰어나지 않고, 남들보다 잘 난것이 없음을 확실히 인지 할 필요가 있다.
누구보다도 낮은 자세로 타인에게 다가갈 때, 너를 대하는 사람들도 너보다 낮은 자세로 널 대할 것이다.
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